Schemat Bernoulliego opisuje serię niezależnych prób, z których każda kończy się sukcesem albo porażką, zawsze z tym samym prawdopodobieństwem. Kalkulator poniżej liczy prawdopodobieństwo dokładnie k sukcesów, wartości skumulowane i parametry rozkładu, a tam gdzie to możliwe, podaje wynik także jako ułamek zwykły.
Kalkulator prawdopodobieństwa i schematu Bernoulliego
Rozwiązanie krok po kroku
- Schemat Bernoulliego opisuje n niezależnych prób, w których każda kończy się sukcesem z tym samym prawdopodobieństwem.
- Liczymy, na ile sposobów k sukcesów może rozłożyć się w n próbach.
- Mnożymy przez prawdopodobieństwo samych sukcesów i samych porażek w jednym konkretnym układzie. Wykładniki muszą sumować się do n. Jeżeli nie sumują, któryś został źle odczytany z treści.
- Wartość oczekiwana liczby sukcesów to iloczyn liczby prób i prawdopodobieństwa pojedynczego sukcesu.
- Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów to część całkowita iloczynu n plus jeden razy p. Tam rozkład osiąga szczyt.
- Ten sam wynik w postaci dokładnej. Na maturze odpowiedzią jest ułamek, a nie jego rozwinięcie dziesiętne. Rozwinięcie dziesiętne jest zaokrąglone, więc w zadaniu wymagającym wartości dokładnej trzeba podać ułamek.
Co składa się na ten wynik
- Dokładnie k sukcesów0,1171875
- W procentach11,7188 %
- Co najwyżej k sukcesów0,171875
- Co najmniej k sukcesów0,9453125
- Symbol Newtona120
- Wartość oczekiwana5
- Wariancja2,5
- Odchylenie standardowe1,5811
- Najbardziej prawdopodobne k5
- Wartość dokładna15 / 128
Stawki obowiązujące 2026-10-19, rok 2026, zweryfikowane 2026-10-07. Wynik ma charakter informacyjny.
Wzór i co oznacza każdy jego element
Prawdopodobieństwo dokładnie k sukcesów w n próbach to symbol Newtona z n po k, pomnożony przez p do potęgi k i przez q do potęgi n minus k, gdzie q jest prawdopodobieństwem porażki, czyli jedynką pomniejszoną o p.
Każdy z trzech czynników odpowiada za co innego. Potęga p liczy prawdopodobieństwo samych sukcesów, potęga q prawdopodobieństwo samych porażek, a symbol Newtona mówi, na ile różnych sposobów te sukcesy mogą się w serii rozłożyć.
Stąd bierze się najprostsza kontrola zapisu: wykładniki przy p i przy q muszą zsumować się do n. Jeżeli się nie sumują, któraś liczba została źle odczytana z treści zadania i dalszy rachunek nie ma sensu.
Co najmniej, co najwyżej i reszta sformułowań
| Sformułowanie w zadaniu | Zapis | Które k wchodzą | Wartość dla n = 10, k = 3, p = 0,5 |
|---|---|---|---|
| dokładnie 3 sukcesy | P(X = 3) | tylko 3 | 0,117188 |
| co najmniej 3 sukcesy | P(X ≥ 3) | 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | 0,945313 |
| co najwyżej 3 sukcesy | P(X ≤ 3) | 0, 1, 2, 3 | 0,171875 |
| mniej niż 3 sukcesy | P(X < 3) | 0, 1, 2 | 0,054688 |
| więcej niż 3 sukcesy | P(X > 3) | 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | 0,828125 |
| co najmniej 1 sukces | P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) | wszystkie oprócz zera | 0,999023 |
To jest miejsce, w którym w tym temacie gubi się najwięcej punktów. Co najmniej trzy sukcesy znaczy trzy albo więcej, więc sumujemy od trzech w górę. Co najwyżej trzy znaczy trzy albo mniej, więc sumujemy od zera do trzech. Te dwa wyrażenia brzmią podobnie i dają zupełnie różne liczby.
Widać to w tabeli: dla tych samych danych co najmniej trzy daje około dziewięćdziesięciu pięciu setnych, a co najwyżej trzy około siedemnastu setnych. Pomyłka zmienia odpowiedź ponad pięciokrotnie i nie da się jej wychwycić samym rzutem oka na wynik.
Ostatni wiersz pokazuje chwyt, który oszczędza najwięcej pracy. Co najmniej jeden sukces to zdarzenie przeciwne do zera sukcesów, więc zamiast sumować dziesięć składników wystarczy odjąć jeden od jedynki. Przy większych n to często jedyna droga wykonalna ręcznie.
Kiedy ten schemat nie obowiązuje
Schemat Bernoulliego wymaga dwóch rzeczy naraz: próby muszą być niezależne, a prawdopodobieństwo sukcesu stałe w każdej z nich. Oba warunki łamie jednocześnie losowanie bez zwracania.
Jeżeli z urny z pięcioma kulami białymi i trzema czarnymi losujemy trzy kule i nie wkładamy ich z powrotem, to po pierwszym losowaniu skład urny się zmienia i prawdopodobieństwo drugiego losowania jest już inne. Taki rachunek prowadzi się rozkładem hipergeometrycznym, nie dwumianowym.
Zdanie rozstrzygające bywa w treści zadania jednym słowem. Sformułowanie oglądamy kulę i wrzucamy ją z powrotem oznacza zwracanie i schemat Bernoulliego, a losujemy trzy kule naraz oznacza jego brak. Przy zadaniach o pogodzie, rzutach monetą i kontroli jakości z dużej partii warunek jest zwykle spełniony.
Wartość dokładna zamiast przybliżenia
Odpowiedź w zadaniu maturalnym bywa wymagana jako wartość dokładna, czyli ułamek zwykły, a nie rozwinięcie dziesiętne. Dla dziesięciu rzutów monetą i trzech orłów dokładną odpowiedzią jest piętnaście sto dwudziestych ósmych, a nie zaokrąglone sto siedemnaście tysięcznych.
Kalkulator podaje obie postacie obok siebie wszędzie tam, gdzie licznik i mianownik mieszczą się w zakresie liczb całkowitych. Przy większych n ułamek miałby kilkadziesiąt cyfr i zostaje wtedy samo przybliżenie dziesiętne.
Rozpoznanie prostego ułamka działa też w drugą stronę. Prawdopodobieństwo wpisane jako zero przecinek trzy jest odczytywane jako trzy dziesiąte, a nie jako przybliżenie czegoś innego, więc wynik dokładny zgadza się z tym, co wyszłoby w rachunku ręcznym.
Wartość oczekiwana, wariancja i szczyt rozkładu
Wartość oczekiwana liczby sukcesów to iloczyn liczby prób i prawdopodobieństwa pojedynczego sukcesu. Przy dziesięciu rzutach monetą wynosi pięć, co zgadza się z intuicją. Wariancja to ten sam iloczyn pomnożony dodatkowo przez q, a odchylenie standardowe jest z niej pierwiastkiem.
Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów nie zawsze równa się wartości oczekiwanej, bo musi być liczbą całkowitą. Wyznacza się ją jako część całkowitą iloczynu n plus jeden razy p, i to tam rozkład osiąga szczyt.
Gdy ten iloczyn jest liczbą całkowitą, szczyt wypada podwójnie: dwa sąsiednie wyrazy rozkładu są wtedy dokładnie równe. Dla dziewięciu prób przy prawdopodobieństwie jednej drugiej najbardziej prawdopodobne są zarówno cztery, jak i pięć sukcesów.
Model klasyczny, czyli najprostszy przypadek
Gdy wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, prawdopodobieństwo liczy się jako iloraz liczby zdarzeń sprzyjających przez liczbę wszystkich. Rzut kostką, losowanie karty z pełnej talii i losowanie kuli z urny mieszczą się w tym modelu.
Warunek jednakowego prawdopodobieństwa jest tu istotny i bywa milcząco łamany. Kostka obciążona, loteria z różnymi liczbami losów i koło fortuny o polach różnej szerokości wyglądają podobnie, ale wzoru klasycznego do nich stosować nie wolno.
Obok wyniku warto zawsze policzyć zdarzenie przeciwne, czyli jedynkę pomniejszoną o otrzymane prawdopodobieństwo. W wielu zadaniach droga przez zdarzenie przeciwne jest krótsza, a odpowiedź ta sama.
Kombinacje, wariacje i permutacje obok siebie
| Model | Czy kolejność ma znaczenie | Czy element może się powtórzyć | Wzór | Ile dla n = 5 i k = 3 |
|---|---|---|---|---|
| Kombinacje | nie | nie | C(n, k) = n! ⁄ (k!(n − k)!) | 10 |
| Wariacje bez powtórzeń | tak | nie | V(n, k) = n! ⁄ (n − k)! | 60 |
| Wariacje z powtórzeniami | tak | tak | n^k | 125 |
| Permutacje wszystkich n | tak | nie | n! | 120 |
O wyborze modelu decydują dwa pytania. Czy kolejność ma znaczenie i czy element może się powtórzyć. Cztery możliwe odpowiedzi dają cztery wiersze tabeli i to na tym rozstrzygnięciu, a nie na samym rachunku, rozbija się większość zadań kombinatorycznych.
Losowanie sześciu liczb z czterdziestu dziewięciu to kombinacje, bo kolejność wylosowanych liczb nie zmienia kuponu. Ustawienie trzech osób na podium to wariacje bez powtórzeń, bo kolejność decyduje o medalu. Kod PIN to wariacje z powtórzeniami, bo cyfry mogą się powtarzać i kolejność jest istotna.
Symbol Newtona z tabeli to ta sama liczba, która stoi we wzorze Bernoulliego. Oba tematy są więc powiązane: schemat Bernoulliego jest zastosowaniem kombinacji do serii niezależnych prób.
Gdzie to stoi w podstawie programowej
Model klasyczny i wartość oczekiwana należą do zakresu podstawowego w liceum i technikum, w dziale rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Tam też znajduje się odchylenie standardowe zestawu danych.
Schemat Bernoulliego jest natomiast wyłącznie w zakresie rozszerzonym, razem z prawdopodobieństwem warunkowym i wzorem Bayesa. Jeżeli uczysz się do matury podstawowej, ten temat cię nie obowiązuje.
W szkole podstawowej, w klasach siódmej i ósmej, pojawiają się jedynie proste doświadczenia losowe: rzut monetą lub kostką i losowanie kuli z zestawu. To poziom, na którym liczy się prawdopodobieństwo pojedynczego zdarzenia, bez żadnych serii prób.
Ograniczenia tego kalkulatora
Liczy do dziesięciu tysięcy prób. Przy takich wartościach sam symbol Newtona przekracza zakres zapisu liczb, więc rachunek prowadzimy w skali logarytmicznej i wracamy do zwykłej wartości dopiero na końcu. Wynik pozostaje dokładny, ale symbolu Newtona nie da się już wypisać.
Nie liczy prawdopodobieństwa warunkowego ani wzoru Bayesa, choć oba należą do tego samego działu zakresu rozszerzonego. Nie obsługuje też rozkładu hipergeometrycznego, czyli losowania bez zwracania.
Prawdopodobieństwo sukcesu można podać jako liczbę od zera do jedynki albo w procentach. Wartość większa od jedynki jest odczytywana jako procent, więc wpisanie trzydziestu znaczy trzy dziesiąte.
Jak rozpoznać ten schemat w treści zadania
Trzy sygnały wskazują na schemat Bernoulliego. Pierwszy to powtarzana ta sama czynność: rzucamy kostką pięć razy, sprawdzamy dziesięć sztuk z partii, gramy sześć partii. Drugi to podział wyniku każdej próby na dwa stany: trafienie albo nie, wada albo brak wady.
Trzeci sygnał to stałość warunków. Jeżeli w treści nic nie zmienia się między próbami, a losowane elementy wracają na miejsce albo pochodzą z bardzo dużej partii, prawdopodobieństwo sukcesu zostaje takie samo i schemat obowiązuje.
Zadania bywają przy tym formułowane tak, że model trzeba odczytać z jednego słowa. Zdanie o pięciu deszczowych dniach w tygodniu i pytanie o dwa pogodne spośród trzech można przeczytać na dwa sposoby: jako trzy niezależne dni z prawdopodobieństwem dwóch siódmych, albo jako wybór trzech dni z siedmiu bez zwracania. Pierwszy odczyt daje sześćdziesiąt trzysta czterdziestych trzecich, drugi jedną siódmą, i są to różne odpowiedzi na różne pytania.
W razie wątpliwości warto zapisać wprost, co jest próbą, co sukcesem i ile wynosi p. Jeżeli p zmienia się między próbami, schemat nie obowiązuje i trzeba sięgnąć po inny model.
Trzy typy zadań, które wracają najczęściej
Typ pierwszy pyta wprost o dokładnie k sukcesów i sprowadza się do jednego podstawienia do wzoru. Typ drugi pyta o co najmniej jeden sukces i rozwiązuje się przez zdarzenie przeciwne. Typ trzeci pyta o więcej sukcesów niż porażek, co przy nieparzystej liczbie prób znaczy więcej niż połowa.
Ostatni typ bywa najtrudniejszy, bo wymaga zsumowania kilku wyrazów. Przy siedmiu próbach więcej sukcesów niż porażek znaczy cztery, pięć, sześć albo siedem, więc liczymy cztery składniki i dodajemy. Przy prawdopodobieństwie równym jednej drugiej odpowiedź wynosi dokładnie jedną drugą, bo rozkład jest symetryczny.
Symetria przy p równym połowie jest zresztą wygodnym skrótem. Prawdopodobieństwo co najwyżej k sukcesów równa się wtedy prawdopodobieństwu co najmniej n minus k sukcesów, co pozwala policzyć jedno zamiast drugiego, jeżeli to drugie ma mniej składników.
Powiązane narzędzia
Średnią, medianę i odchylenie standardowe zestawu danych liczy kalkulator statystyczny. Odchylenie w rozkładzie dwumianowym i odchylenie zestawu liczb to dwie różne wielkości o tej samej nazwie.
Wyniki w postaci ułamków zwykłych, przydatne przy zapisie odpowiedzi, przetwarza kalkulator ułamków.
Pozostałe narzędzia szkolne zbiera dział matematyczny.
Jak to liczymy
- W modelu klasycznym prawdopodobieństwo to iloraz liczby zdarzeń sprzyjających przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych. Model wymaga, żeby wszystkie zdarzenia elementarne były jednakowo prawdopodobne.
- Obok wyniku podajemy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, czyli jedynkę pomniejszoną o wynik. W wielu zadaniach liczy się je szybciej niż samo zdarzenie.
- Schemat Bernoulliego opisuje n niezależnych prób o tym samym prawdopodobieństwie sukcesu. Prawdopodobieństwo dokładnie k sukcesów to symbol Newtona pomnożony przez p do potęgi k i przez q do potęgi n minus k.
- Symbol Newtona liczy, na ile sposobów k sukcesów może rozłożyć się w n próbach. Liczymy go iteracyjnie, bez silni, a przy bardzo dużych n przechodzimy na skalę logarytmiczną.
- Wykładniki przy p i q muszą sumować się do liczby prób. To najprostsza kontrola, czy dane odczytano z treści poprawnie.
- Podajemy też wartości skumulowane, czyli co najwyżej k i co najmniej k sukcesów, bo zadania maturalne pytają najczęściej właśnie o nie.
- Wartość oczekiwana w schemacie Bernoulliego to n razy p, a wariancja n razy p razy q. Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z wariancji.
- Podajemy też najbardziej prawdopodobną liczbę sukcesów, czyli część całkowitą iloczynu n plus jeden razy p. Gdy iloczyn jest liczbą całkowitą, szczyt rozkładu wypada podwójnie.
- Tam gdzie licznik i mianownik mieszczą się w zakresie liczb całkowitych, obok przybliżenia podajemy wartość dokładną w postaci ułamka zwykłego, bo tego wymaga odpowiedź maturalna.
- W trybie kombinatorycznym liczymy obok siebie kombinacje, wariacje bez powtórzeń, wariacje z powtórzeniami i permutacje, bo o wybór właściwego modelu rozbija się większość błędów w tych zadaniach.
Kalkulator prawdopodobieństwa i schematu Bernoulliego liczy według stawek obowiązujących 2026-10-19, a ich zgodność z aktem Rozporządzenie Ministra Edukacji w sprawie podstawy programowej wychowania przedszkolnego oraz podstawy programowej kształcenia ogólnego dla szkoły podstawowej sprawdziliśmy 2026-10-07.
Czego ten kalkulator nie obejmuje
- Model klasyczny zakłada, że wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. Przy kostce obciążonej albo loterii z różnymi szansami wzór nie obowiązuje.
- Schemat Bernoulliego wymaga prób niezależnych i stałego prawdopodobieństwa sukcesu. Losowanie bez zwracania tego warunku nie spełnia.
- Liczy do dziesięciu tysięcy prób. Przy tak dużych liczbach wartości liczymy w skali logarytmicznej, bo sam symbol Newtona przekroczyłby zakres liczb.
- Kombinatoryka działa do n równego 170, bo przy wyższych wartościach silnia przekracza zakres liczb zmiennoprzecinkowych.
- Nie liczy prawdopodobieństwa warunkowego ani wzoru Bayesa. To osobne zagadnienie z zakresu rozszerzonego.
- Prawdopodobieństwo sukcesu można podać jako liczbę od zera do jedynki albo w procentach. Wartość większa od jedynki jest odczytywana jako procent.
Podstawa prawna
- Rozporządzenie Ministra Edukacji w sprawie podstawy programowej wychowania przedszkolnego oraz podstawy programowej kształcenia ogólnego dla szkoły podstawowejzał. nr 2, matematyka, klasy VII i VIII, dział Dane i zdarzenia losowe, pkt 6 · Dz.U. 2026 poz. 378
- Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej w sprawie podstawy programowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopniazał. nr 1, dział XII Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, zakres podstawowy pkt 1 i 5, zakres rozszerzony pkt 2 · Dz.U. 2018 poz. 467
- Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej w sprawie podstawy programowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopniazał. nr 1, dział XI Kombinatoryka, zakres podstawowy pkt 1 · Dz.U. 2018 poz. 467
Często zadawane pytania
Czym różni się co najmniej k od co najwyżej k?
Co najmniej k znaczy k albo więcej, więc sumujemy od k w górę. Co najwyżej k znaczy k albo mniej, więc sumujemy od zera do k. Dla dziesięciu rzutów monetą i trzech sukcesów pierwsze daje około 0,945, a drugie około 0,172.
Czy schemat Bernoulliego działa przy losowaniu bez zwracania?
Nie. Bez zwracania skład zbioru zmienia się po każdym losowaniu, więc próby przestają być niezależne, a prawdopodobieństwo sukcesu stałe. Taki rachunek prowadzi się rozkładem hipergeometrycznym.
Czy schemat Bernoulliego jest na maturze podstawowej?
Nie. Jest wyłącznie w zakresie rozszerzonym, razem z prawdopodobieństwem warunkowym i wzorem Bayesa. W zakresie podstawowym pozostają model klasyczny, wartość oczekiwana i odchylenie standardowe.
Jak policzyć prawdopodobieństwo co najmniej jednego sukcesu?
Przez zdarzenie przeciwne: odejmujemy od jedynki prawdopodobieństwo zera sukcesów. Zamiast sumować wiele składników liczymy jeden i odejmujemy, co przy większej liczbie prób jest jedyną drogą wykonalną ręcznie.
Która liczba sukcesów jest najbardziej prawdopodobna?
Część całkowita iloczynu n plus jeden razy p. Gdy ten iloczyn jest liczbą całkowitą, szczyt wypada podwójnie i dwa sąsiednie wyrazy rozkładu są równe, jak przy dziewięciu rzutach monetą dla czterech i pięciu sukcesów.
Jak podać odpowiedź jako wartość dokładną?
Jako ułamek zwykły, nie jako rozwinięcie dziesiętne. Dla dziesięciu rzutów monetą i trzech orłów wartością dokładną jest piętnaście sto dwudziestych ósmych. Kalkulator podaje ułamek wszędzie tam, gdzie mieści się on w zakresie liczb całkowitych.
Pozostałe kalkulatory w dziale Matematyka
Kto odpowiada za tę stronę
Autor
Tomasz Michalik
Autor i redaktor treści
Tomasz Michalik jest autorem i redaktorem serwisu Licznia.pl, z ponad 7-letnim doświadczeniem w tworzeniu rzetelnych treści dotyczących wynagrodzeń, podatków, finansów i praktycznych obliczeń. Koncentruje się na dokładności, aktualności informacji oraz przedstawianiu złożonych zagadnień w prosty i zrozumiały sposób.
Weryfikacja merytoryczna
Jan Kowalski
Ekspert ds. podatków i finansów
Sprawdzono: 19 października 2026