Pochodne: tablica wzorów, styczna i monotoniczność

Czym pochodna jest, a czym nie jest

Pochodna funkcji w punkcie to granica ilorazu różnicowego: dzielimy przyrost wartości funkcji przez przyrost argumentu i patrzymy, do czego ten iloraz zmierza, gdy przyrost argumentu maleje do zera. Geometrycznie sieczna przechodzi wtedy w styczną.

Warto postawić tu granicę precyzyjnie, bo w popularnych opracowaniach zdarza się skrót myślowy. Pochodna nie jest styczną i jej nie wyznacza. Pochodna jest liczbą równą współczynnikowi kierunkowemu stycznej, a do wyznaczenia samej prostej potrzebny jest jeszcze punkt, przez który ona przechodzi.

Druga nieścisłość to mówienie o stycznej do funkcji. Styczna jest prostą i dotyka wykresu funkcji, a nie funkcji jako takiej. Funkcja to przyporządkowanie, a wykres to zbiór punktów na płaszczyźnie i tylko do niego da się poprowadzić prostą.

Tablica pochodnych funkcji elementarnych

Tablica jest punktem wyjścia do każdego rachunku. Wzór na pochodną potęgi obowiązuje dla dowolnego wykładnika rzeczywistego, także ujemnego i ułamkowego, co pozwala sprowadzić do niego pierwiastek i odwrotność.

Pierwiastek kwadratowy to potęga o wykładniku jedna druga, więc po zastosowaniu wzoru wykładnik spada do minus jednej drugiej, a to daje jedną drugą przez pierwiastek z iksa. Odwrotność to potęga o wykładniku minus jeden i stąd minus jeden przez kwadrat iksa.

Ostatnia kolumna podaje dziedzinę pochodnej, bo bywa ona węższa od dziedziny samej funkcji. Pierwiastek jest określony także w zerze, ale jego pochodna już nie, bo w mianowniku stanąłby pierwiastek z zera.

Cztery reguły, bez których tablica nie wystarcza

Pochodna sumy to suma pochodnych, a stały czynnik wychodzi przed pochodną i się nie zmienia. Te dwie reguły są na tyle naturalne, że rzadko bywają źródłem błędu.

Pochodna iloczynu nie jest iloczynem pochodnych. Liczymy ją jako pochodną pierwszego czynnika razy drugi, plus pierwszy czynnik razy pochodna drugiego. Pominięcie jednego z tych dwóch składników to najczęstszy błąd w tym temacie.

Pochodna ilorazu ma w liczniku analogiczną różnicę, ale w mianowniku stoi kwadrat mianownika wyjściowego. Zapisanie tam samego mianownika bez kwadratu zmienia wynik i jest pomyłką, która trafia się nawet w publikowanych opracowaniach. Warto to sprawdzić w każdym rozwiązaniu, które się przepisuje.

Pochodna funkcji złożonej, zwana regułą łańcuchową, to pochodna funkcji zewnętrznej policzona w punkcie funkcji wewnętrznej, pomnożona przez pochodną funkcji wewnętrznej. Funkcja wewnętrzna musi zostać przepisana w całości, bez gubienia żadnego składnika.

Równanie stycznej krok po kroku

Styczna w punkcie o odciętej x zero ma współczynnik kierunkowy równy pochodnej w tym punkcie. Jej równanie zapisujemy najpierw w postaci punktowej, jako wartość funkcji plus pochodna razy różnica iksa i x zero, a potem porządkujemy do postaci kierunkowej.

Dla funkcji iks do kwadratu w punkcie o odciętej półtora wychodzi: wartość funkcji to dwa i dwadzieścia pięć setnych, pochodna to dwa razy iks, czyli trzy. Styczna to y równa się trzy iks minus dwa i dwadzieścia pięć setnych.

Sprawdzenie jest szybkie: podstawiamy odciętą punktu styczności do równania prostej i musimy dostać wartość funkcji w tym punkcie. Trzy razy półtora minus dwa i dwadzieścia pięć setnych daje dwa i dwadzieścia pięć setnych, więc się zgadza.

Znak pochodnej i monotoniczność

Pochodna dodatnia w punkcie oznacza, że funkcja w tym miejscu rośnie, ujemna że maleje. Pochodna równa zeru wskazuje punkt stacjonarny, czyli kandydata na ekstremum, ale sama tego ekstremum nie potwierdza.

Potwierdzenie wymaga sprawdzenia, czy pochodna zmienia znak w tym punkcie. Jeżeli przechodzi z dodatniej na ujemną, mamy maksimum, jeżeli z ujemnej na dodatnią, minimum. Jeżeli znaku nie zmienia, ekstremum nie ma, choć pochodna się zeruje.

Klasycznym przykładem jest funkcja iks do trzeciej w zerze. Pochodna wynosi tam zero, a mimo to funkcja rośnie po obu stronach i żadnego ekstremum nie ma. Dlatego sam warunek zerowania się pochodnej nigdy nie wystarcza.

Zakres podstawowy i rozszerzony, czyli kto się tego uczy

To rozróżnienie decyduje o tym, czy warto w ogóle siadać do tematu, a trudno je znaleźć na stronach o pochodnych. W podstawie programowej dla liceum i technikum zakres podstawowy obejmuje z całego działu wyłącznie zadania optymalizacyjne dające się opisać funkcją kwadratową. Pochodna nie pojawia się tam w ogóle.

Dopiero zakres rozszerzony mówi o stosowaniu definicji pochodnej, o interpretacji geometrycznej i fizycznej, o liczeniu pochodnej funkcji potęgowej oraz o twierdzeniach o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej. Tam też pojawia się badanie monotoniczności i zadania optymalizacyjne z pochodną.

Praktyczny wniosek jest taki: jeżeli uczysz się do matury podstawowej, pochodne nie są ci potrzebne. Jeżeli do rozszerzonej, potrzebny jest cały ten dział razem z liczeniem z definicji, którego część opracowań odradza jako rzekomo teoretyczne.

Liczenie z definicji, czyli czego nie warto pomijać

Liczenie pochodnej z definicji polega na zapisaniu ilorazu różnicowego, uproszczeniu go algebraicznie i przejściu do granicy. Dla funkcji iks do kwadratu w punkcie dwa daje to kolejno: różnicę kwadratów, rozwinięcie dwumianu, skrócenie przyrostu i wynik cztery.

Przy rozwijaniu dwumianu trzeba wypisać wszystkie składniki, także ten z przyrostem w trzeciej potędze przy sześcianie. Składniki wyższych rzędów i tak znikną w granicy, ale pominięcie ich w zapisie czyni rachunek formalnie fałszywym, a na maturze kosztuje punkt za poprawność zapisu.

Ten sposób liczenia jest wymagany w zakresie rozszerzonym i pojawia się na egzaminie, więc odradzanie go jako materiału dla teoretyków jest poradą wprost szkodliwą. Tablica wzorów powstała właśnie z takich rachunków i warto wiedzieć, skąd.

Całka nieoznaczona, czyli działanie odwrotne

Całkowanie odwraca różniczkowanie, więc tablicę całek czyta się jak tablicę pochodnych w drugą stronę. Różnica jest jedna, ale istotna: odpowiedź zawiera stałą całkowania C, bo każda funkcja różniąca się o stałą ma tę samą pochodną.

Wzór na całkę potęgi ma jeden wyjątek. Dla wykładnika minus jeden mianownik n plus jeden byłby zerem, więc wzór nie działa i odpowiedzią jest logarytm naturalny z wartości bezwzględnej iksa. To jedyne miejsce, w którym logarytm pojawia się przy całkowaniu funkcji potęgowej.

Trzeba przy tym powiedzieć wprost: całka nieoznaczona nie występuje w podstawie programowej dla liceum ani technikum, w żadnym zakresie. Jest tu dla osób uczących się dalej, na studiach albo w technikum o profilu technicznym, a nie do zadania maturalnego.

Czego ten kalkulator nie robi

Liczy funkcje elementarne pojedynczo, wybierane z listy. Nie przyjmuje funkcji wpisanej wzorem, bo bez parsera nie da się odróżnić zapisu błędnego od nietypowego, a cichy błąd byłby gorszy od braku odpowiedzi.

Sumy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej nie rozkłada samodzielnie. Zadanie trzeba rozbić na składniki, policzyć każdy osobno i złożyć wynik zgodnie z regułą opisaną wyżej. Sam przebieg dla każdego składnika kalkulator pokaże.

Nie bada też przebiegu zmienności ani nie wyznacza ekstremów. Podaje znak pochodnej w jednym punkcie, co wskazuje kandydata, ale nie zastępuje analizy zmiany znaku w otoczeniu.

Interpretacja fizyczna i pytanie o nachylenie

Jeżeli funkcja opisuje drogę w zależności od czasu, to jej pochodna jest prędkością chwilową. Dla drogi równej pięć razy kwadrat czasu pochodna wynosi dziesięć razy czas, więc w drugiej sekundzie prędkość chwilowa to dwadzieścia jednostek na sekundę.

Druga pochodna, czyli pochodna pochodnej, jest wtedy przyspieszeniem. Stąd bierze się jej rola w badaniu wykresu: znak drugiej pochodnej mówi o wypukłości, tak jak znak pierwszej mówi o monotoniczności.

Wraca przy tym pytanie zadawane na forach i rzadko gdzie wyjaśnione: czy większa pochodna znaczy wykres bardziej stromy. Znaczy, ale decyduje wartość bezwzględna, nie sama liczba. Pochodna minus pięć daje nachylenie równie strome jak plus pięć, tylko w drugą stronę, a pochodna równa jednej dziesiątej oznacza wykres prawie płaski niezależnie od znaku.

Dlatego przy porównywaniu stromizny dwóch punktów patrzy się na moduł pochodnej, a przy pytaniu o kierunek na jej znak. Te dwa pytania są rozłączne i warto je rozdzielać już przy czytaniu polecenia.

Powiązane narzędzia

Przekształcenia wykresu, przydatne przy czytaniu znaku pochodnej z rysunku, zbiera kalkulator wykresów funkcji.

Funkcja kwadratowa, jedyna, przy której zakres podstawowy wymaga zadań optymalizacyjnych, ma własne narzędzie: kalkulator delty.

Pochodne funkcji trygonometrycznych obowiązują wyłącznie dla argumentu w mierze łukowej, którą przelicza przelicznik stopni na radiany. Pozostałe narzędzia zbiera dział matematyczny.