Kalkulator trygonometryczny: sinus, cosinus, tangens, cotangens

Tangens to iloraz, a nie osobna tabela do wykucia

Dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym tangens jest ilorazem przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta przez przyprostokątną do niego przyległą. Ponieważ sinus to przeciwległa przez przeciwprostokątną, a cosinus przyległa przez przeciwprostokątną, przeciwprostokątna skraca się w ilorazie i zostaje tg α = sin α / cos α.

Ta zależność jest wymieniona wprost w podstawie programowej dla liceum, w dziale siódmym poświęconym trygonometrii, obok jedynki trygonometrycznej. Oznacza to, że na egzaminie wolno się nią posłużyć bez dowodzenia, a w praktyce zwalnia z pamiętania osobnych wartości tangensa: wystarczy sinus i cosinus.

Cotangens jest odwrotnością tangensa, czyli ctg α = cos α / sin α, a iloczyn obu funkcji dla tego samego kąta zawsze wynosi jeden. W polskiej notacji szkolnej piszemy tg i ctg; zapisy tan i cot spotykane na kalkulatorach i w literaturze anglojęzycznej oznaczają dokładnie to samo.

Okrąg jednostkowy tłumaczy wszystkie znaki

Na okręgu o promieniu jeden współrzędna pozioma punktu to cosinus kąta, a pionowa to sinus. Ponieważ punkt leży na okręgu o promieniu jeden, suma kwadratów obu współrzędnych wynosi jeden i stąd bierze się jedynka trygonometryczna: sin²α + cos²α = 1.

Ta sama konstrukcja wyjaśnia, dlaczego sinus i cosinus nigdy nie wychodzą poza przedział od minus jednego do jednego. Współrzędna punktu na okręgu nie może być większa od promienia. Tangens takiego ograniczenia nie ma, bo jest ilorazem i rośnie nieograniczenie, gdy cosinus zbliża się do zera.

Definicja przez okrąg obejmuje też kąty rozwarte, półpełne i większe od pełnego obrotu, czego definicja przez trójkąt nie potrafi. Zakres podstawowy w liceum obejmuje kąty od zera do stu osiemdziesięciu stopni, a pełny okrąg wraz z okresowością należy do zakresu rozszerzonego.

Sześć funkcji i dwie drogi do ich definicji

Pierwsza kolumna opisowa dotyczy kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, druga dowolnego kąta na okręgu. Obie prowadzą do tych samych liczb tam, gdzie obie są stosowalne, ale tylko druga obejmuje kąty rozwarte i większe od pełnego obrotu.

Secans i cosecans nie są wymagane w polskiej szkole średniej, lecz pojawiają się na kalkulatorach i w literaturze obcojęzycznej, więc warto wiedzieć, czym są. Oba to po prostu odwrotności cosinusa i sinusa.

Ostatnia kolumna rozwiązuje praktyczny kłopot: większość kalkulatorów nie ma klawisza cotangensa ani secansa, więc liczy się je jako odwrotności. Polski zapis tg i ctg odpowiada międzynarodowemu tan i cot, a różnica jest wyłącznie notacyjna.

Stopnie, radiany i położenie kąta

Zamiany dokonujemy, mnożąc stopnie przez pi i dzieląc przez sto osiemdziesiąt. Pełny obrót to dwa pi radianów, kąt półpełny pi, prosty pi przez dwa. Kolumna z zapisem dokładnym jest tą, której używa się w odpowiedziach, a przybliżona tą, którą przyjmuje kalkulator.

Ostatnia kolumna pokazuje rzecz, o której zapomina większość zestawień: kąty zero, dziewięćdziesiąt, sto osiemdziesiąt i dwieście siedemdziesiąt stopni leżą na osiach układu i nie należą do żadnej ćwiartki. W tych punktach jedna funkcja przyjmuje wartość zero, a inna traci sens, bo w jej mianowniku pojawia się zero.

Przy kątach większych od pełnego obrotu najpierw odejmujemy wielokrotność trzystu sześćdziesięciu stopni, a dopiero potem odczytujemy położenie. Kąt czterystu stopni zachowuje się tak samo jak kąt czterdziestu, bo różnią się o pełny obrót.

Znaki funkcji zależą od ćwiartki

W pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie. W drugiej dodatni zostaje tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, w czwartej cosinus. Schemat ten wynika wprost ze znaków współrzędnych punktu na okręgu i nie trzeba go zapamiętywać osobno.

Wartość bezwzględna funkcji dla kąta rozwartego jest taka sama jak dla jego kąta odniesienia, czyli kąta ostrego między ramieniem a osią poziomą. Dla stu pięćdziesięciu stopni kątem odniesienia jest trzydzieści, więc sinus wynosi jedną drugą, a cosinus minus pierwiastek z trzech przez dwa.

Pełne zestawienie wartości dla kątów podstawowych, razem z postacią dokładną i przybliżoną, prowadzi tekst o tym, jak czytać tabelę sinusa, cosinusa i tangensa. Tam też pokazujemy, z jakich dwóch trójkątów te wartości wynikają.

Własności czterech funkcji zestawione obok siebie

Tabela porządkuje pytania, które w zadaniach o wykres pojawiają się najczęściej: dziedzina, zbiór wartości, okres i parzystość. Sinus i cosinus mają okres pełnego obrotu, natomiast tangens i cotangens powtarzają się już po połowie obrotu, czyli co sto osiemdziesiąt stopni.

Litera k w zapisach dziedziny oznacza dowolną liczbę całkowitą, a nie zespoloną. To rozróżnienie bywa źródłem nieporozumień, bo w starszej polskiej notacji zbiór liczb całkowitych oznaczano literą C od słowa „całkowite”, podczas gdy dziś symbol ℂ jednoznacznie oznacza liczby zespolone. Obecnie poprawnym oznaczeniem liczb całkowitych jest ℤ.

Tangens jest funkcją nieparzystą, więc tg(−α) = −tg α, a cosinus parzystą, więc cos(−α) = cos α. Te dwie własności wystarczają, by sprowadzić rachunek dla kąta ujemnego do rachunku dla kąta dodatniego.

Stopnie i radiany

Miara łukowa mierzy kąt długością łuku wyciętego na okręgu o promieniu jeden. Pełny obrót to dwa pi radianów, kąt półpełny pi, prosty pi przez dwa, a kąt trzydziestu stopni pi przez sześć. Zamiany dokonujemy, mnożąc stopnie przez pi i dzieląc przez sto osiemdziesiąt.

Radiany nie są wymysłem akademickim. W nich wzory analizy matematycznej przyjmują najprostszą postać, dlatego kalkulatory naukowe i arkusze kalkulacyjne liczą funkcje trygonometryczne właśnie w radianach. Wpisanie tam liczby stopni bez zamiany jest najczęstszą przyczyną zaskakującego wyniku.

Kalkulator na tej stronie przyjmuje obie miary i przy każdym rachunku podaje wartość w radianach obok wartości w stopniach. Miara łukowa należy do zakresu rozszerzonego, ale pojawia się także w fizyce przy ruchu obrotowym i drganiach.

Funkcje odwrotne zwracają jeden kąt, nie wszystkie

Gdy znamy wartość funkcji i szukamy kąta, używamy funkcji odwrotnych: arcus sinus, arcus cosinus i arcus tangens, zapisywanych jako arcsin, arccos i arctg. Na kalkulatorach widnieją one zwykle jako sin⁻¹, cos⁻¹ i tan⁻¹, co nie oznacza odwrotności w sensie dzielenia.

Równanie sin x = 0,5 ma nieskończenie wiele rozwiązań, bo funkcja jest okresowa. Arcus sinus zwraca tylko jedno z nich, trzydzieści stopni, wybrane z przedziału podstawowego. Pełnym rozwiązaniem jest trzydzieści stopni oraz sto pięćdziesiąt stopni, każde powiększone o wielokrotność pełnego obrotu.

Dla arcus sinusa i arcus cosinusa argument musi mieścić się między minus jednym a jednym, bo poza tym przedziałem żaden kąt nie ma takiej wartości funkcji. Arcus tangens przyjmuje dowolną liczbę, bo tangens osiąga wszystkie wartości rzeczywiste.

Tangens jako nachylenie prostej

Współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kąta, jaki prosta tworzy z dodatnią półosią poziomą. Prosta o równaniu y = x ma współczynnik jeden i nachylenie czterdziestu pięciu stopni, co zgadza się z wartością tangensa dla tego kąta.

Ta sama zależność tłumaczy oznaczenia na znakach drogowych. Spadek dziesięcioprocentowy oznacza, że na sto metrów poziomych przypada dziesięć metrów pionowych, czyli tangens kąta nachylenia wynosi 0,1, a sam kąt około pięciu stopni i siedmiu dziesiątych.

W budownictwie tym samym rachunkiem wyznacza się kąt nachylenia dachu i schodów. Stosunek wysokości do podstawy jest tangensem, a kąt odczytuje się funkcją odwrotną, czyli arcus tangensem.

Twierdzenie sinusów i cosinusów

Gdy trójkąt nie ma kąta prostego, definicje przez boki przestają działać wprost i wchodzą dwa twierdzenia. Twierdzenie sinusów mówi, że stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego naprzeciw niego jest taki sam dla wszystkich trzech par. Twierdzenie cosinusów uogólnia twierdzenie Pitagorasa o wyraz z cosinusem kąta.

Oba twierdzenia znajdują się w zakresie podstawowym liceum, razem ze wzorem na pole trójkąta jako połowa iloczynu dwóch boków i sinusa kąta między nimi. Służą do rozwiązywania trójkątów, czyli do wyznaczania wszystkich boków i kątów przy odpowiednim zestawie danych.

Twierdzenie Pitagorasa jest szczególnym przypadkiem twierdzenia cosinusów dla kąta prostego, bo cosinus dziewięćdziesięciu stopni wynosi zero i wyraz dodatkowy znika. Rachunki dla trójkąta prostokątnego prowadzi kalkulator twierdzenia Pitagorasa.

Tangens delta i tangens fi, czyli co innego pod tą samą nazwą

W elektrotechnice tangens delta opisuje stratność dielektryka w kablu albo w transformatorze, a tangens fi stosunek mocy biernej do czynnej w instalacji. Obie wielkości są rzeczywiście tangensami pewnych kątów, ale pytania o nie dotyczą pomiarów i norm, a nie trygonometrii szkolnej.

Jeżeli szukasz tangensa kąta nachylenia, wartości dla kąta w stopniach albo wykresu funkcji, trafiłeś dobrze. Jeżeli szukasz tangensa delta kabla, potrzebujesz dokumentacji pomiarowej, a nie kalkulatora funkcji trygonometrycznych.

Podobne rozdwojenie dotyczy samego słowa delta, które w równaniu kwadratowym oznacza wyróżnik, a w fizyce przyrost wielkości. Rachunek dla trójmianu prowadzi kalkulator delty.

Co kalkulator liczy, a czego nie

Narzędzie podaje wartości czterech funkcji dla dowolnego kąta, ćwiartkę, miarę łukową oraz sprawdzenie jedynką trygonometryczną. W trybie odwrotnym wyznacza kąt z wartości funkcji, zwracając jedno rozwiązanie z przedziału podstawowego.

Nie rozwiązuje równań ani nierówności trygonometrycznych, nie stosuje wzorów redukcyjnych i nie rozwiązuje trójkątów. Nie podaje też wartości dokładnych w postaci z pierwiastkiem; te znajdziesz w tablicy, do której prowadzi tekst o tym, jak czytać tabelę sinusa, cosinusa i tangensa.

Wyniki podajemy z sześcioma miejscami po przecinku, co w zupełności wystarcza do zadań szkolnych. W zapisie odpowiedzi na sprawdzianie zwykle oczekiwana jest jednak postać dokładna, więc kalkulator służy do kontroli rachunku, a nie do zastąpienia go.

Jak to liczymy

1. Kąt sprowadzamy najpierw do jednego pełnego obrotu, bo wartości funkcji powtarzają się co trzysta sześćdziesiąt stopni.
2. Z położenia kąta odczytujemy ćwiartkę, a ćwiartka rozstrzyga o znakach wszystkich czterech funkcji.
3. Kąt zamieniamy na radiany, mnożąc go przez pi i dzieląc przez sto osiemdziesiąt.
4. Sinus i cosinus to współrzędne punktu na okręgu o promieniu jeden, więc obie wartości zawsze mieszczą się między minus jeden i jeden.
5. Tangens liczymy jako iloraz sinusa przez cosinus, cotangens odwrotnie. Przy zerowym mianowniku funkcja po prostu nie istnieje i tak to pokazujemy.
6. Na końcu sprawdzamy tożsamość: suma kwadratów sinusa i cosinusa musi dać jeden.
7. W trybie odwrotnym zwracamy jeden kąt z przedziału podstawowego i mówimy wprost, że rozwiązań równania jest nieskończenie wiele.

Kalkulator trygonometryczny liczy według stawek obowiązujących 2026-10-19, a ich zgodność z aktem Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej w sprawie podstawy programowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia sprawdziliśmy 2026-10-07.

Czego ten kalkulator nie obejmuje

• Zwraca wartości przybliżone, poza kątami, dla których wynik jest dokładny. Wartości takie jak pierwiastek z trzech przez dwa pokazujemy jako liczbę dziesiętną.
• W trybie odwrotnym podaje jeden kąt z przedziału podstawowego, a nie wszystkie rozwiązania równania.
• Nie rozwiązuje trójkątów. Do tego potrzebne są twierdzenia sinusów i cosinusów.
• Zakres podstawowy w liceum obejmuje kąty od zera do stu osiemdziesięciu stopni. Kalkulator liczy szerzej, ale to już materiał zakresu rozszerzonego.

Podstawa prawna

• Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej w sprawie podstawy programowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopniazał. nr 1, dział VII Trygonometria, zakres podstawowy pkt 1-6 i rozszerzony pkt 1-6 · Dz.U. 2018 poz. 467

Przeliczenia i poradniki w tym dziale

Tabela sin cos tg Wartości dokładne obok przybliżonych, z wyprowadzeniem.

Często zadawane pytania

Co to jest tangens?

Dla kąta ostrego iloraz przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta przez przyprostokątną do niego przyległą. Równoważnie jest to sinus podzielony przez cosinus tego samego kąta.

Dlaczego tangens 90 stopni nie istnieje?

Bo cosinus dziewięćdziesięciu stopni wynosi zero, a dzielenie przez zero nie ma wyniku. Z tego samego powodu cotangens nie istnieje dla zera i dla kąta półpełnego.

Czy tangens może być większy od jedynki?

Tak, i to bez ograniczenia. Powyżej czterdziestu pięciu stopni tangens przekracza jedynkę i rośnie dalej, zbliżając się do kąta prostego. Ograniczone są tylko sinus i cosinus.

Co oznaczają skróty tan i cot na kalkulatorze?

To międzynarodowe oznaczenia tangensa i cotangensa. Polska notacja szkolna używa skrótów tg i ctg, a różnica jest wyłącznie zapisu, nie funkcji.

Jak zamienić stopnie na radiany?

Mnożąc liczbę stopni przez pi i dzieląc przez sto osiemdziesiąt. Trzydzieści stopni to pi przez sześć, czyli około 0,5236 radiana.

Czy tangens delta ma związek z tym kalkulatorem?

Nie. Tangens delta opisuje stratność dielektryka w kablu lub transformatorze i dotyczy pomiarów elektrycznych, a nie trygonometrii szkolnej.

Powiązane kalkulatory

Tabela sin cos tg Wartości dokładne obok przybliżonych, z wyprowadzeniem. Twierdzenie Pitagorasa Brakujący bok, twierdzenie odwrotne i trójki pitagorejskie. Matematyka Siedem kalkulatorów szkolnych, każdy z pełnym przebiegiem rachunku.

Kto odpowiada za tę stronę

Autor

Tomasz Michalik

Autor i redaktor treści

Tomasz Michalik jest autorem i redaktorem serwisu Licznia.pl, z ponad 7-letnim doświadczeniem w tworzeniu rzetelnych treści dotyczących wynagrodzeń, podatków, finansów i praktycznych obliczeń. Koncentruje się na dokładności, aktualności informacji oraz przedstawianiu złożonych zagadnień w prosty i zrozumiały sposób.

Weryfikacja merytoryczna

Jan Kowalski

Ekspert ds. podatków i finansów

Sprawdzono: 19 października 2026