Tabela sinus, cosinus, tangens: wartości dokładne i przybliżone

Jedynka trygonometryczna jako kontrola odczytu

Dla każdego kąta suma kwadratów sinusa i cosinusa wynosi dokładnie jeden. To najtańszy sposób sprawdzenia, czy odczyt z tablicy albo z kalkulatora jest poprawny. Dla trzydziestu stopni mamy jedną czwartą plus trzy czwarte, co daje jeden.

Ta sama tożsamość pozwala wyliczyć jedną funkcję z drugiej. Jeżeli wiadomo, że sinus kąta ostrego wynosi 0,6, to cosinus wynosi 0,8, bo suma kwadratów musi dać jedność. Dla kątów nieostrych trzeba jeszcze rozstrzygnąć znak na podstawie ćwiartki.

Z jedynki wyprowadza się też zależność między tangensem a cosinusem: jeden plus kwadrat tangensa równa się jeden przez kwadrat cosinusa. Wzór ten bywa potrzebny przy przekształcaniu wyrażeń i wynika z podzielenia obu stron jedynki przez kwadrat cosinusa.

Dlaczego w polskich tablicach jest tg, a nie tan

Polska tradycja szkolna i tablice wydawane na egzamin maturalny używają skrótów tg oraz ctg. Zapisy tan i cot pochodzą z notacji anglojęzycznej i widnieją na klawiszach większości kalkulatorów, bo te produkowane są na rynek międzynarodowy.

Oba zestawy oznaczeń opisują te same funkcje i nie ma między nimi różnicy matematycznej. W pracy egzaminacyjnej bezpieczniej jest używać zapisu tg i ctg, bo taki występuje w treściach zadań i w zestawie wzorów.

Na kalkulatorze funkcja cotangens zwykle nie ma osobnego klawisza. Liczy się ją jako odwrotność tangensa, czyli jeden podzielony przez wartość tangensa, albo jako iloraz cosinusa przez sinus.

Tablica a wykres

Tabela pokazuje punkty, wykres pokazuje przebieg. Sinus rośnie od zera do jedynki na pierwszej ćwiartce i opada do zera na drugiej, a cosinus robi to odwrotnie. Tangens rośnie od zera nieograniczenie i urywa się przy dziewięćdziesięciu stopniach, gdzie ma asymptotę pionową.

Wartości z tablicy są właśnie punktami tego wykresu i dobrze jest umieć je na nim wskazać. Pytanie o to, czy tangens może być większy od jedynki, przestaje być zagadką, gdy widać, że powyżej czterdziestu pięciu stopni wykres przekracza poziom jedynki i rośnie dalej.

Okresowość odczytuje się z wykresu natychmiast: sinus i cosinus powtarzają kształt co pełny obrót, tangens co pół obrotu. Dlatego tabela dla kątów od zera do dziewięćdziesięciu stopni, uzupełniona o znaki w ćwiartkach, wystarcza do obsłużenia dowolnego kąta.

Wartości dla kątów 15, 18 i 75 stopni

Poza pięcioma podstawowymi kątami istnieje jeszcze kilka, dla których wartość dokładną da się zapisać. Tangens piętnastu stopni wynosi dwa minus pierwiastek z trzech, a tangens siedemdziesięciu pięciu dwa plus pierwiastek z trzech. Obie liczby są swoimi odwrotnościami, bo kąty dopełniają się do kąta prostego.

Wartości te wyprowadza się ze wzorów na funkcje sumy i różnicy kątów, bo piętnaście stopni to różnica czterdziestu pięciu i trzydziestu. Wzory te należą do zakresu rozszerzonego, więc w zakresie podstawowym takich kątów się nie wymaga.

W zadaniach spotyka się też kąt osiemnastu stopni, związany z pięciokątem foremnym, którego sinus wyraża się przez złotą liczbę. To już ciekawostka, a nie materiał szkolny, ale pokazuje, że zbiór kątów o zapisie dokładnym jest większy niż pięć pozycji z tablicy.

Co zrobić, gdy kalkulator podaje inną liczbę niż tablica

Pierwszą rzeczą do sprawdzenia jest tryb miary kąta. Większość kalkulatorów naukowych ma trzy: stopnie, radiany i grady, a przełącznik bywa niepozorny. Grady dzielą kąt prosty na sto części i w polskiej szkole nie są używane, więc ich wybór daje wyniki pozornie losowe.

Drugą jest liczba miejsc po przecinku. Tablica podaje cztery, kalkulator często dziesięć, więc różnica na ostatnich cyfrach nie oznacza błędu. Przy porównywaniu warto zaokrąglić obie liczby do tej samej dokładności.

Trzecią jest postać zapisu. Liczba 0,5774 i zapis pierwiastek z trzech przez trzy to ta sama wartość, więc rozbieżność bywa pozorna i znika po przeliczeniu ułamka na postać dziesiętną.

Secans i cosecans

Poza czterema podstawowymi funkcjami istnieją jeszcze dwie: secans, będący odwrotnością cosinusa, i cosecans, będący odwrotnością sinusa. W polskiej szkole średniej nie są one wymagane, ale pojawiają się w podręcznikach akademickich i w literaturze obcojęzycznej.

Secans czterdziestu pięciu stopni wynosi pierwiastek z dwóch, bo cosinus tego kąta to pierwiastek z dwóch przez dwa. Dla kątów, w których cosinus się zeruje, secans nie istnieje, dokładnie tak samo jak tangens.

Kalkulator na tej stronie podaje obie te wartości obok pozostałych, więc nie trzeba ich przeliczać osobno. W zadaniu szkolnym wystarczy jednak zapisać je jako odwrotność, bo taka postać jest w polskiej notacji naturalna.

Gdzie ta tablica jest potrzebna

Poza zadaniami z trójkątów wartości funkcji trygonometrycznych pojawiają się przy rozkładzie sił w fizyce, przy obliczaniu nachylenia dachu i schodów, przy wyznaczaniu wysokości obiektu z kąta patrzenia oraz we wszystkich rachunkach, w których trzeba przejść od kąta do proporcji boków.

W praktyce najczęściej potrzebne są trzy liczby: 0,5 dla sinusa trzydziestu stopni, około 0,7071 dla czterdziestu pięciu i około 0,866 dla sześćdziesięciu. Reszta tablicy służy do sprawdzenia i do zadań, które wymagają postaci dokładnej.

Pełny opis funkcji, razem z ich dziedzinami, okresowością i funkcjami odwrotnymi, prowadzi strona kalkulatora trygonometrycznego. Zamianę kąta na proporcje boków w trójkącie prostokątnym obsługuje kalkulator twierdzenia Pitagorasa.