Przekształceń wykresu funkcji jest siedem i wszystkie sprowadzają się do jednego pytania: czy zmiana siedzi wewnątrz nawiasu funkcji, czy na zewnątrz. Wewnątrz działa poziomo i odwrotnie do znaku, na zewnątrz pionowo i zgodnie ze znakiem. Kalkulator poniżej pokazuje, gdzie wędruje wybrany punkt wykresu.
Kalkulator przekształceń wykresu
Rozwiązanie krok po kroku
- Przekształcenie przesunięcie wzdłuż osi OY zapisuje się tak.
- Bierzemy punkt należący do wykresu funkcji wyjściowej.
- Po przekształceniu punkt wędruje tam: w górę o q, a przy q ujemnym w dół.
- Przekształcenia składa się kolejno, a kolejność ma znaczenie. Najpierw działamy wewnątrz nawiasu, czyli na osi poziomej, potem mnożymy, a na końcu przesuwamy pionowo.
Co składa się na ten wynik
- Przekształcenieprzesunięcie wzdłuż osi OY
- Zapis wzoremy = f(x) + q
- Punkt przed(2; -3)
- Punkt po(2; -1)
- Na którą oś działana rzędne, czyli pionowo
- Gdzie siedzi w zapisiena zewnątrz nawiasu, przy całej funkcji
- Dziedzina i zbiór wartościzmienia się zbiór wartości, dziedzina zostaje
Stawki obowiązujące 2026-10-20, rok 2026, zweryfikowane 2026-10-07. Wynik ma charakter informacyjny.
Siedem przekształceń w jednej tabeli
| Zapis | Co robi z wykresem | Gdzie siedzi zmiana | Co zmienia | Punkt (2; −3) przechodzi w |
|---|---|---|---|---|
| y = f(x) + q | q > 0 w górę, q < 0 w dół | na zewnątrz nawiasu | zbiór wartości | (2; −1) |
| y = f(x − p) | p > 0 w prawo, p < 0 w lewo | wewnątrz nawiasu | dziedzinę | (4; −3) |
| y = −f(x) | odbicie względem osi poziomej | na zewnątrz nawiasu | zbiór wartości | (2; 3) |
| y = f(−x) | odbicie względem osi pionowej | wewnątrz nawiasu | dziedzinę | (−2; −3) |
| y = a · f(x) | rozciągnięcie pionowe a razy | na zewnątrz nawiasu | zbiór wartości | (2; −6) |
| y = f(ax) | ściśnięcie poziome a razy | wewnątrz nawiasu | dziedzinę | (1; −3) |
| y = |f(x)| | część pod osią odbija się nad nią | na zewnątrz nawiasu | zbiór wartości | (2; 3) |
Wiersze z zapisem wewnątrz nawiasu to te trzy, które działają na oś poziomą: przesunięcie poziome, symetria względem osi pionowej i rozciąganie poziome. Pozostałe cztery działają pionowo.
Rozróżnienie jest mechaniczne i nie wymaga pamiętania siedmiu osobnych reguł. Wystarczy spojrzeć, czy litera zmieniająca wykres stoi przy iksie w nawiasie, czy przed całą funkcją albo za nią.
Kolumna ostatnia pokazuje, co dzieje się z konkretnym punktem. Cały wykres idzie za swoimi punktami, więc prześledzenie jednego wystarczy, żeby wiedzieć, jak przesunie się reszta.
Dlaczego przesunięcie poziome działa odwrotnie
Zapis f(x − p) przesuwa wykres w prawo o p, choć w nawiasie stoi minus. To jest najczęściej mylony punkt całego działu i warto raz prześledzić, skąd się bierze.
Nowa funkcja w punkcie x przyjmuje tę wartość, którą stara miała w punkcie x − p. Żeby więc zobaczyć starą wartość z punktu zero, trzeba stanąć w punkcie p, czyli dalej w prawo. Wykres wędruje w prawo.
Ta sama logika tłumaczy rozciąganie poziome. Zapis f(2x) ściska wykres dwukrotnie, bo nowa funkcja osiąga w punkcie x to, co stara osiągała dopiero w 2x, czyli dwa razy dalej.
Przesunięcie pionowe i symetrie
Dodanie liczby do całej funkcji podnosi wykres o tę liczbę, a odjęcie opuszcza. Dziedzina zostaje bez zmian, zmienia się zbiór wartości, bo każda rzędna rośnie o tę samą wartość.
Minus przed całą funkcją odbija wykres względem osi poziomej: każda rzędna zmienia znak, odcięte zostają. Minus wewnątrz nawiasu, przy iksie, odbija względem osi pionowej i działa odwrotnie.
Złożenie obu symetrii daje obrót o sto osiemdziesiąt stopni wokół początku układu. Funkcja nieparzysta jest właśnie taka, że po tym obrocie wraca na siebie, a parzysta wraca na siebie po samej symetrii pionowej.
Wartość bezwzględna z funkcji i z argumentu
Zapis z wartością bezwzględną całej funkcji odbija nad oś poziomą tę część wykresu, która leżała pod nią, a resztę zostawia. Wykres nigdy nie schodzi wtedy poniżej osi.
Zapis z wartością bezwzględną samego argumentu działa inaczej: zostawia część wykresu dla dodatnich iksów i odbija ją symetrycznie na stronę ujemną, kasując to, co tam było. Powstaje wykres funkcji parzystej.
Oba zapisy wyglądają podobnie, a dają zupełnie różne obrazy, więc w zadaniach warto za każdym razem sprawdzić, co dokładnie stoi pod kreskami. Kalkulator obsługuje pierwszy z nich.
Składanie przekształceń i kolejność
Funkcja zapisana jako a·f(x − p) + q zawiera trzy przekształcenia naraz. Kolejność ich wykonania ma znaczenie i prowadzi od wnętrza nawiasu na zewnątrz: najpierw przesunięcie poziome, potem rozciąganie pionowe, na końcu przesunięcie pionowe.
Zamiana kolejności zmienia wynik. Przesunięcie o q przed pomnożeniem przez a dałoby inny wykres, bo mnożenie zadziałałoby też na samo przesunięcie.
Ten zapis jest dokładnie postacią kanoniczną funkcji kwadratowej, w której a odpowiada za rozwartość paraboli, a para p i q za położenie wierzchołka. Rachunek dla trójmianu prowadzi kalkulator delty.
Co przekształcenie robi z dziedziną i zbiorem wartości
Przekształcenia poziome zmieniają dziedzinę, pionowe zbiór wartości. Nigdy oba naraz, bo każde przekształcenie działa tylko na jedną współrzędną.
Przesunięcie o p przesuwa dziedzinę o tę samą wartość: funkcja określona na przedziale od zera do dwóch po przesunięciu w prawo o trzy jest określona od trzech do pięciu. Zbiór wartości zostaje nietknięty.
Przy wartości bezwzględnej zbiór wartości zawsze mieści się w liczbach nieujemnych, bo ujemnych rzędnych po prostu nie ma. Dziedzina przy tym się nie zmienia.
Miejsca zerowe i punkty charakterystyczne
Przesunięcie pionowe zmienia miejsca zerowe, bo wykres przechodzi oś poziomą w innych punktach. Przesunięcie poziome też je zmienia, ale o dokładnie tę samą wartość, o którą przesunięto wykres.
Symetria względem osi poziomej nie rusza miejsc zerowych, bo zero odbite pozostaje zerem. Rozciąganie pionowe również ich nie zmienia z tego samego powodu.
Punkt przecięcia z osią pionową zmienia się przy każdym przekształceniu pionowym i przy każdym poziomym, z wyjątkiem symetrii względem osi pionowej, która go zostawia na miejscu.
Przekształcenia funkcji trygonometrycznych
Zapis sinusa z parametrem przed iksem opisuje zmianę okresu. Funkcja sin(2x) ma okres dwa razy krótszy, czyli sto osiemdziesiąt stopni zamiast trzystu sześćdziesięciu, bo wykres jest ściśnięty poziomo.
Parametr przed całą funkcją zmienia amplitudę. Zapis 3sin(x) ma wartości od minus trzech do trzech zamiast od minus jednego do jednego, a okres zostaje bez zmian.
Przesunięcie poziome w tym kontekście nazywa się przesunięciem fazowym. Pełny opis funkcji trygonometrycznych, razem z okresowością i dziedziną, prowadzi kalkulator trygonometryczny.
Przekształcenia funkcji kwadratowej
Parabola o równaniu y równa się x do kwadratu jest wykresem wyjściowym, z którego przez przekształcenia powstają wszystkie pozostałe. Postać kanoniczna zapisuje trzy przekształcenia naraz: rozciągnięcie, przesunięcie poziome i pionowe.
Współczynnik przed nawiasem decyduje o rozwartości i o kierunku ramion. Wartość większa od jedynki zwęża parabolę, mniejsza ją rozszerza, a ujemna odwraca ramiona w dół.
Para liczb w nawiasie i za nim to współrzędne wierzchołka. Odczytuje się je wprost, bez liczenia czegokolwiek, i to jest główny powód, dla którego warto umieć przejść do postaci kanonicznej.
Przekształcenia funkcji wymiernej i wykładniczej
Hiperbola o równaniu y równa się jeden przez x po przesunięciu poziomym i pionowym daje funkcję homograficzną. Asymptoty przesuwają się razem z wykresem, więc ich położenie odczytuje się wprost ze wzoru.
Funkcja wykładnicza po przesunięciu pionowym zmienia asymptotę poziomą, a po przesunięciu poziomym zostawia ją na miejscu. Jest to ta sama reguła wnętrza i zewnętrza nawiasu co wszędzie indziej.
Dla funkcji logarytmicznej przesunięcie poziome przesuwa asymptotę pionową i zmienia dziedzinę. Wyznaczenie nowej dziedziny jest zwykle pierwszym punktem takiego zadania.
Jak rozpoznać przekształcenie z wykresu
Porównaj kształt z wykresem wyjściowym. Jeżeli kształt jest ten sam, a położenie inne, było to przesunięcie i wystarczy odczytać, o ile i w którą stronę.
Jeżeli kształt jest lustrzany, była symetria, a oś odbicia wskaże, czy działała na rzędne, czy na odcięte. Jeżeli kształt jest wyższy albo węższy, było rozciąganie i jego współczynnik odczytuje się z jednego charakterystycznego punktu.
Jeżeli wykres nigdzie nie schodzi pod oś poziomą, a wcześniej schodził, zastosowano wartość bezwzględną. Rozpoznaje się ją po charakterystycznych ostrych załamaniach dokładnie w dawnych miejscach zerowych.
Przekształcenia a równania z wartością bezwzględną
Równanie z wartością bezwzględną rozwiązuje się szybciej graficznie niż rachunkowo. Rysujemy wykres funkcji z wartością bezwzględną i poziomą prostą, a liczba punktów wspólnych od razu daje liczbę rozwiązań.
Zadania z parametrem pytają zwykle, dla ilu wartości parametru równanie ma określoną liczbę rozwiązań. Odpowiedź odczytuje się z wysokości charakterystycznych punktów wykresu, czyli z załamań i wierzchołków.
Ta metoda działa też dla nierówności. Rozwiązaniem jest wtedy zbiór iksów, dla których wykres leży nad albo pod prostą, odczytany wprost z rysunku.
Funkcja parzysta, nieparzysta i symetrie
Funkcja parzysta nie zmienia się po symetrii względem osi pionowej, więc jej wykres jest symetryczny względem tej osi. Przykładem jest funkcja kwadratowa bez wyrazu liniowego i cosinus.
Funkcja nieparzysta po tej samej symetrii daje wykres odbity dodatkowo względem osi poziomej, czyli wraca na siebie po obrocie o sto osiemdziesiąt stopni wokół początku układu. Przykładem jest sinus i funkcja sześcienna.
Sprawdzenie jest rachunkowe: podstawiamy minus x i porównujemy wynik z funkcją wyjściową. Równość oznacza parzystość, a przeciwny znak nieparzystość; brak obu znaczy, że funkcja nie ma żadnej z tych własności.
Dlaczego warto zacząć od punktów charakterystycznych
Każda funkcja elementarna ma kilka punktów, które najłatwiej śledzić: miejsca zerowe, punkt przecięcia z osią pionową, wierzchołek, maksima i minima. Przekształcenie wystarczy prześledzić na nich.
Dla paraboli wystarczy wierzchołek i jedno ramię, dla sinusa jeden pełny okres, dla hiperboli punkt najbliższy obu asymptot. Reszta wykresu idzie za tymi punktami, bo przekształcenia nie zmieniają kształtu krzywej, a tylko jej położenie i skalę.
Ta technika jest też najszybszym sposobem rysowania wykresu na sprawdzianie. Zamiast tabelki z dziesięcioma wartościami wystarczą trzy albo cztery dobrze dobrane punkty i znajomość kształtu wyjściowego.
Czego kalkulator nie robi
Pokazuje działanie przekształcenia na pojedynczym punkcie, a nie rysuje wykresu funkcji podanej wzorem. Wykonuje też jedno przekształcenie naraz.
Nie wyznacza dziedziny ani zbioru wartości funkcji wynikowej. Mówi natomiast, który z tych dwóch zbiorów dane przekształcenie zmienia, a to jest zwykle pytanie z zadania.
Nie obsługuje przekształceń nieliniowych argumentu ani symetrii względem prostych innych niż osie układu. Do zadań z funkcją kwadratową przydaje się kalkulator delty i miejsc zerowych.
Jak to liczymy
- Każde przekształcenie opisujemy przez to, co robi z pojedynczym punktem wykresu. Cały wykres idzie za swoimi punktami.
- Zmiana zapisana na zewnątrz nawiasu funkcji działa na rzędne, czyli pionowo, i zmienia zbiór wartości.
- Zmiana zapisana wewnątrz nawiasu działa na odcięte, czyli poziomo, i zmienia dziedzinę.
- Przy zmianie poziomej kierunek jest odwrotny do znaku w nawiasie: odjęcie p przesuwa wykres w prawo, a nie w lewo.
- Przy składaniu przekształceń kolejność ma znaczenie: najpierw działania wewnątrz nawiasu, potem mnożenie, na końcu przesunięcie pionowe.
- Wartość bezwzględna z funkcji odbija nad oś poziomą tę część wykresu, która leżała pod nią, i nie rusza reszty.
Kalkulator przekształceń wykresu liczy według stawek obowiązujących 2026-10-20, a ich zgodność z aktem Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej w sprawie podstawy programowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia sprawdziliśmy 2026-10-07.
Czego ten kalkulator nie obejmuje
- Pokazuje działanie przekształcenia na pojedynczym punkcie. Nie rysuje wykresu funkcji podanej wzorem.
- Wykonuje jedno przekształcenie naraz. Złożenia trzeba przeprowadzić krokami, pilnując kolejności.
- Nie wyznacza dziedziny ani zbioru wartości funkcji wynikowej. Mówi tylko, który z tych dwóch zbiorów przekształcenie zmienia.
- Nie obsługuje przekształceń nieliniowych argumentu ani symetrii względem prostych innych niż osie układu.
Podstawa prawna
- Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej w sprawie podstawy programowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopniazał. nr 1, dział V Funkcje, pkt 12 oraz zakres rozszerzony pkt 3 · Dz.U. 2018 poz. 467
Często zadawane pytania
Dlaczego f(x − p) przesuwa wykres w prawo?
Bo nowa funkcja w punkcie x przyjmuje wartość, którą stara miała w punkcie x − p. Żeby zobaczyć dawną wartość, trzeba stanąć dalej w prawo.
Jak rozpoznać, czy przekształcenie działa poziomo, czy pionowo?
Po tym, gdzie siedzi zmiana. Wewnątrz nawiasu funkcji działa poziomo i odwrotnie do znaku, na zewnątrz pionowo i zgodnie ze znakiem.
Co zmienia wartość bezwzględna z funkcji?
Odbija nad oś poziomą tę część wykresu, która leżała pod nią, a resztę zostawia. Wykres nie schodzi wtedy poniżej osi.
Czym y = |f(x)| różni się od y = f(|x|)?
Pierwszy zapis odbija część wykresu leżącą pod osią poziomą. Drugi zostawia część dla dodatnich iksów i odbija ją na stronę ujemną, kasując to, co tam było.
W jakiej kolejności składa się przekształcenia?
Od wnętrza nawiasu na zewnątrz: najpierw przesunięcie poziome, potem rozciąganie pionowe, na końcu przesunięcie pionowe. Zamiana kolejności zmienia wynik.
Które przekształcenie zmienia dziedzinę?
Każde działające poziomo, czyli przesunięcie poziome, symetria względem osi pionowej i rozciąganie poziome. Pionowe zmieniają zbiór wartości.
Pozostałe kalkulatory w dziale Matematyka
Kto odpowiada za tę stronę
Autor
Tomasz Michalik
Autor i redaktor treści
Tomasz Michalik jest autorem i redaktorem serwisu Licznia.pl, z ponad 7-letnim doświadczeniem w tworzeniu rzetelnych treści dotyczących wynagrodzeń, podatków, finansów i praktycznych obliczeń. Koncentruje się na dokładności, aktualności informacji oraz przedstawianiu złożonych zagadnień w prosty i zrozumiały sposób.
Weryfikacja merytoryczna
Jan Kowalski
Ekspert ds. podatków i finansów
Sprawdzono: 19 października 2026